De M. Henri Ronnau, BP 8, 44115 Basse Goulaine : « … j’aimerais que vous abordiez dans un prochain article, sinon plusieurs vu l’ampleur du sujet, ce qu’il faut entendre par Espace. On parle, par hypothèse… du Big Bang initial… Mais où placer cet objet dont l’explosion initiale a donné le Cosmos ? Et… qu’était, ou que devait être l’environnement ? »
Voilà, cher Monsieur, un intéressant défi. Car chacun voit bien qu’il y a là un problème (pour le moins), mais comment le poser ? Cette seule question, par exemple, implique déjà deux fois que l’on sait ce qui est demandé : 1/ où placer l’objet ? (où : il y a donc déjà des lieux, des ailleurs, bref un espace), et 2/… que pouvait être l’environnement ? (même remarque).
Pascal disait qu’il n’est pas utile de définir le temps ni l’espace, car quiconque entend ces mots sait de quoi l’on parle, et toute définition ne peut qu’enfoncer l’esprit dans un abîme de complications1. Est-ce bien sûr ? Si l’on n’essaie pas de définir ce qu’est l’espace, est-on sûr de comprendre ses propriétés les plus simples ? Ainsi, qu’est-ce qu’une dimension, et pourquoi l’espace où nous vivons en a-t-il trois ?2.
Quand on demande où s’est produit le Big Bang, on croit implicitement à la limpidité de l’idée d’espace. On croit à la possibilité d’une réponse3.
J’en demande pardon à ceux qui ont déjà lu la description de la fameuse bande de Moebius, qu’ils aient la patience de la lire une fois de plus, ils auront peut-être une surprise.
Pour obtenir une bande de Moebius, découpez un ruban rectiligne dans ce journal, par exemple la marge, fermez-la comme une ceinture, mais en retournant une de ses extrémités que vous collez sur l’autre : vous obtenez une bande fermée dont Moebius a remarqué le premier que c’est une surface qui n’a pas de revers4.
Pour vous en convaincre, vous posez le doigt sur un endroit quelconque de la bande et vous le glissez tout au long de celle-ci. Après un tour, sans avoir changé de face, vous retrouvez votre lieu de départ, mais de l’autre côté de la bande. Ce ruban bizarre n’a donc pas de face.
Jusque-là, cela peut aller, tout le monde comprend. Mais encore une fois, est-ce sûr ?
Reprenez vos ciseaux et découpez la bande dans le sens de la longueur, en suivant le pointillé. Si vous ne l’avez jamais fait jusqu’ici et si vous êtes capable de décrire à l’avance l’objet qui va sortir au découpage, vous avez une belle imagination. Et si, toujours à l’avance, vous pouvez décrire ce que l’on obtient en recommençant une deuxième fois l’opération, vous avez raté une belle carrière de topologiste, science de pointe dont les applications vont de la physique à la biologie moléculaire et à la cosmologie (a).
Que prouve pour le moins cette expérience de « géométrie amusante » ? Que l’espace apparemment sans malice où évolue notre corps est en réalité plein de potentialités très simples qui cependant n’existent nulle part dans la nature. Notre œil ne les aurait jamais vues si nous ne les avions inventées et fabriquées de nos mains. La bande diabolique est un objet simple, qu’un enfant peut fabriquer avec un peu de papier, des ciseaux et une goutte de colle, et cependant elle défie notre imagination. Si vous ne vous êtes pas encore rendu, dites-moi ce que vous prévoyez d’obtenir en la découpant au tiers de sa largeur, au quart, au sixième… Et il ne s’agit que de notre bon vieil espace familier.
Les Grecs, qui ont pensé à tout, distinguent dès le temps de Thalès et Pythagore qu’il existe une géométrie plane et une géométrie dans l’espace. Mais ils n’énonceront jamais que l’espace a trois dimensions.
Le premier qui, l’ayant vu clairement, en tira la conséquence sur laquelle la science continue et continuera de se développer longtemps encore, c’est Descartes5. Quelle conséquence ? que par définition on appelle « physique » tout phénomène occupant trois dimensions d’espace, x, y et z, et une de temps, t. Tout le reste relève de l’« âme ». C’est la métaphysique cartésienne, d’où ses successeurs auront vite fait de déduire le matérialisme classique : le « reste » n’existe pas, puisqu’il serait par définition étranger à toute science. À quoi bon supposer l’existence d’entités qui par définition ne seraient pas présentes dans un monde où tout peut se définir avec x, y, z, t et des chiffres ? À quoi l’on répond que « tout » reste à prouver6.
Nous voilà bien vite amenés de la bande de Moebius à l’existence de l’âme. Il n’est donc peut-être pas si frivole de se demander ce qu’est au juste une dimension.
Comme je le remarquais dès le début de cet article, la question est plus aisée que la réponse. N’étant pas écervelé au point de vouloir parcourir en quelque lignes tout le chemin qui va d’Euclide à Descartes, je me bornerai à quelques exemples de mouvements faciles à imaginer et propres à faire sentir (je ne dis pas comprendre) ce qu’est une dimension.
Prenez un corps quelconque, par exemple une chaise, et suspendez-la à un point fixe, disons un crochet. Ainsi fixée, elle reste mobile dans toutes les directions sauf une : vous ne pouvez l’éloigner du crochet. Elle est immobilisée dans une dimension. Fixez-la par un deuxième crochet : elle ne peut plus que tourner sur elle-même, les deux crochets faisant office de pôles : fixité dans deux dimensions. Ajoutez un dernier crochet non aligné sur les deux premiers : elle ne peut plus bouger du tout. Elle est fixée dans les trois dimensions de l’espace.
Cette addition de crochets éveille une spéculation : pourquoi ne pas supposer un espace où, fixée à trois crochets, elle pourrait cependant encore tourner dans une quatrième dimension ? C’est ce que font les physiciens quand, pour expliquer certains phénomènes, ils imaginent des rotations supplémentaires. Et cela marche parfois.
La plus récente de ces spéculations explique entre autres choses le Big Bang en supposant un je ne sais quoi existant « avant » le Big Bang dans un espace à dix dimensions, mais dont six se sont effondrées (de même un château de cartes à trois dimensions s’effondre et devient plat, c’est-à-dire à deux dimensions). L’effondrement, c’est le Big Bang7.
On peut naturellement aller plus loin (on peut toujours) et imaginer l’effondrement d’une de nos quatre dimensions (x, y, z = l’espace, plus t, le temps). Ce serait l’apocalypse dont se gaussaient étourdiment naguère les « rationalistes ». Dans ce cas, l’univers en s’effondrant s’enroulerait réellement comme un livre. Il ne faut pas se moquer des textes sacrés apparemment absurdes, ni d’ailleurs croire qu’ils sont écrits pour les physiciens8.
Cher lecteur, si je n’ai pas répondu à vos questions du moins j’espère vous avoir fait partager mon émerveillement devant la complication de certaines choses simples, si semblable à la simplicité de certains mystères.
Aimé MICHEL
(a) Il existe en microphysique des objets qui se comportent un peu comme la bande de Moebius : ce sont les fermions, dont on dit que « le spin est demi-entier ». Quant à préciser ce qu’est le spin, c’est une autre histoire.
Chronique n° 450 parue dans France Catholique − N° 2163 − 1er juillet 1988
Notes de Jean-Pierre ROSPARS du 10 avril 2017
Pour Pascal la géométrie « ne définit aucune de ces choses, espace, temps, mouvement, nombre, égalité, ni les semblables qui sont en grand nombre, parce que ces termes-là désignent si naturellement les choses qu’ils signifient, à ceux qui entendent la langue, que l’éclaircissement qu’on en voudrait faire apporterait plus d’obscurité que d’instruction. » (https://www.ebooksgratuits.com/ebooksfrance/pascal_de_l_esprit_geometrique.pdf, p. 8). Ces lignes sont extraites d’un opuscule intitulé De l’esprit géométrique qui aurait été rédigé au plus tard vers 1657-1658. Il s’agit peut-être d’une préface à des Eléments de géométrie que Pascal avait rédigé pour les Petites Écoles de Port-Royal, mais Arnauld en ayant trouvé la rédaction confuse, préféra les rédiger lui-même ! Louis Lafuma dans sa présentation des Œuvres complètes de Pascal (Seuil, 1963) donne des précisions qui font réfléchir sur la fragilité des œuvres : cet écrit dont l’original est perdu nous est connu par une copie faite par Louis Périer qui fut partiellement publiée à partir de 1728 avant de l’être complètement seulement en 1844.
Pourquoi l’espace où nous vivons n’a-t-il que trois dimensions ? La question n’est pas nouvelle. Si l’on en croit les commentaires de Simplicius (au VIe siècle) et Eustrate de Nicée (au XIe), Ptolémée se l’est posée dans une œuvre aujourd’hui perdue où il soutenait qu’un espace à plus de trois dimensions était impossible. Mais il faudra attendre le XXe siècle pour que la question reprenne de l’actualité. Dans un article célèbre de 1917 intitulé « De quelle manière devient-il manifeste dans les lois fondamentales de la physique que l’espace a trois dimensions ? », Ehrenfest montre que la loi de la gravitation de Newton ne conduit à des orbites elliptiques stable durant des millions d’années que dans un espace à trois dimensions. Il montre également que la stabilité des atomes et des molécules est une manifestation essentielle de la dimensionnalité de l’espace. En admettant que la structure des lois de la physique est indépendante du nombre n de dimensions, on montre que les atomes ne peuvent être stables que si n < 4. Bien entendu, sans atome, pas de molécules, pas de chimie, pas de vie et pas non plus de chimistes.[/efn_note] Je sais des esprits distingués qui tiennent pour un paradoxe de savants l’affirmation que le haut et le bas sont une seule et même dimension. Si l’on veut y réfléchir un moment, on doit pourtant convenir que pour deux personnes attendant l’ascenseur l’une au rez-de- chaussée l’autre au dernier étage, ce qui est en haut pour la première est en bas pour l’autre. De même, la gauche et la droite sont une même dimension, de même encore l’avant et l’arrière. Cela fait trois dimensions.
Est-ce tout ? Oui, mais comment le prouver clairement ? On peut tenter de dire par exemple qu’une boîte close sur sa longueur, sa largeur et sa hauteur est étanche, que l’eau dont vous la remplissez ne peut trouver la moindre dimension supplémentaire pour fuir. Mais où sont les trois dimensions d’une sphère ? Elle en a bien trois, comme le confirme sa définition analytique, et j’ai même quelques idées pour le démontrer sans cet appoint mathématique, mais aucune n’est simple et frappante[efn_note]On sait qu’une définition analytique de la sphère de rayon r centrée sur l’origine est x2 + y2 + z2 = r2, comme on peut aisément s’en convaincre en appliquant le théorème de Pythagore. Je me demande quelles sont les idées d’Aimé Michel pour démontrer de manière « simple et frappante » qu’une sphère a bien trois dimensions. Pour ma part, je suggèrerais bien d’inscrire la sphère dans un cube. C’est simple mais est-ce frappant ?
Aimé Michel aurait pu faire un pas de plus pour aider son lecteur à mieux préciser sa question. Ce lecteur semble concevoir le Big Bang comme l’explosion d’un « objet » localisé dans un espace préexistant. Ce n’est pas du tout la conception des cosmologistes pour lesquels c’est l’espace lui-même qui s’agrandit.
Le mathématicien allemand August Möbius (1790-1868) a décrit la surface à une seule face et un seul bord qui porte aujourd’hui son nom dans une communication à l’Académie des Sciences de Paris en 1858. Son compatriote Johann Listing (1808-1882) a fait indépendamment la même découverte la même année, coïncidence qui n’est pas rare.
Je laisse le soin au lecteur de découvrir par lui-même les surprenants résultats des découpages décrits dans cette chronique. Mais s’il n’a pas cette patience il pourra en découvrir certains sur le site http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Mobius_Parpay.pdf.
Au-delà de son intérêt mathématique et artistique, la bande de Möbius a eu un intérêt pratique au XIXe siècle, à une époque où les machines étaient entrainées par de multiples courroies reliées à un arbre entrainé par une machine à vapeur. Les courroies étaient montées sous forme de bande de Möbius ce qui permettait une usure identique « des deux côtés » et, par conséquent, un net allongement de leur durée de vie. (Aujourd’hui les courroies ont disparues, remplacées par des moteurs électriques équipant chaque machine ; ce qui a aussi beaucoup diminué le nombre d’accidents dans les ateliers).
Les coordonnées cartésiennes sont introduites pour la première fois par Descartes dans son bref livre premier (18 pages) de la troisième et dernière partie, intitulée La Géométrie, de son Discours de la méthode pour bien conduire la raison et chercher la vérité dans les sciences, publié à Leyde en 1637. Il y montre que tous les problèmes de géométrie peuvent être résolus par des calculs algébriques, ce qu’on appelle aujourd’hui géométrie analytique. C’était, à l’époque, un complet renversement des perspectives car la géométrie était considérée comme la reine des sciences et l’algèbre tenue pour une science mineure. Quelques pages avant la fin du premier livre, Descartes introduit les notations x et y, aujourd’hui classiques : « Que le segment de la ligne AB, qui est entre les points A et V, soit nommé x et que BC soit nommé y… ». Il le fait en passant, comme simple outil pour résoudre un problème de géométrie légué par l’Antiquité. Pour le texte original et son utile commentaire par André Warusfel on pourra consulter le site http://www.bibnum.education.fr/mathematiques/geometrie/le-livre-premier-de-la-geometrie-de-descartes.
Peut-on dire plus de choses et plus profondes en moins de mots ? Ce court paragraphe qui parcourt « en quelque lignes tout le chemin qui va de Descartes à nos jours », pour paraphraser sa propre formulation, est exemplaire du style d’Aimé Michel, de sa recherche constante d’une expression concise et claire des idées les plus difficiles.
Le dualisme de Descartes oppose la substance étendue (ou chose corporelle, en latin res extensa) à la substance pensante (res cogitans) « dont toute l’essence et la nature n’est que de penser et qui pour être n’a besoin d’aucun lieu ni ne dépend d’aucune chose matérielle » (Discours de la méthode, 4e partie). Cette dernière substance n’est possédée que par Dieu et l’être humain ; le reste de la nature est dépourvu d’esprit et peut se comprendre par de purs mécanismes, y compris les animaux qui ne sont que des machines. La compréhension de ces mécanismes rendra l’homme « comme maître et possesseur de la nature » selon la célèbre formule du Discours de la méthode, que la phrase suivante explicite : « Ce qui n’est pas seulement à désirer pour l’invention d’une infinité d’artifices, qui feraient qu’on jouirait sans aucune peine des fruits de la terre et de toutes les commodités qui s’y trouvent, mais principalement aussi pour la conservation de la santé ».
Si le développement des sciences et des techniques a bien eu les fruits positifs que Descartes en attendait, on est devenu aujourd’hui plus sensible aux limitations de la philosophie matérialiste réductionniste qui en est venu à les inspirer. Cette simplification de la pensée cartésienne, par son succès même, fait peser des menaces d’une part sur une nature surexploitée et irréversiblement dégradée, et d’autre part sur des sociétés humaines qu’elle prive de signification et de valeurs. Ces deux dangers liés entre eux sont bien présents dans la pensée d’Aimé Michel, le second le préoccupant plus encore que le premier (voir par exemple les chroniques n° 129, L’attentat contre la biosphère – Les géologues, les géophysiciens, les biologistes nous crient que c’est au naufrage que nous courons, 08.10.2012, et n° 281, La porte étroite – Nous approchons du temps où l’homme devra changer son cœur ou disparaître, 29.02.2016). Une partie de la solution à ces problèmes se trouve dans une autre évolution du dualisme cartésien, en sens contraire celle-ci du monisme matérialiste : le pluralisme de Karl Popper ; il reconnait l’existence d’un troisième Monde, celui des productions de l’esprit, en partie indépendant des deux autres, le monde physique et le monde subjectif. Cette thèse trop peu connue n’a pas échappé à l’attention d’Aimé Michel qui lui consacre la chronique n° 30, La grève du savoir, 30.08.2010.
L’idée que l’univers ne possède que trois dimensions peut paraître évidente mais c’est à tort. Einstein le premier montra que l’espace et le temps ne pouvaient pas être considérés comme indépendants mais devaient être unifiés dans une structure à quatre dimensions, appelée espace-temps, ce qui amena les physiciens à considérer le temps comme une quatrième dimension.
L’un des premiers à imaginer une théorie avec des dimensions spatiales supplémentaires fut le physicien et érudit allemand Theodor Kaluza (1885-1954). Dans sa théorie publiée en 1921 il montrait que si les équations du champ gravitationnel de la théorie de la relativité générale d’Einstein étaient écrites pour un espace-temps à cinq dimensions (quatre d’espace et une de temps, c’est-à-dire avec l’ajout d’une dimension spatiale supplémentaire) alors ces équations, vues dans le contexte de l’espace-temps de nos perceptions à trois dimensions d’espace et une de temps, étaient les mêmes que celles d’Einstein pour le champ gravitationnel plus une équation identique à celle du champ électromagnétique de Maxwell. Autrement dit, une force gravitationnelle à 5 dimensions est équivalente à la gravitation plus l’électromagnétisme en 4 dimensions (3 + 1) ou encore l’électromagnétisme est la gravité d’une quatrième dimension de l’espace. Ce fut la première tentative d’unifier la gravitation avec une autre force.
Où peut bien être cette invisible 4e dimension d’espace ? En 1926, le physicien suédois Oscar Klein proposa une solution astucieuse à cette énigme : il imagina que cette 4e dimension n’est pas étendue comme les trois autres mais refermée sur elle-même en un cercle minuscule. N’essayez pas de l’imaginer, cela est inimaginable pour notre esprit mais cela peut se traiter mathématiquement sans images. Klein put ainsi calculer la circonférence de ce cercle et il trouva 10-32 cm, ce qui est minuscule au-delà de toute imagination puisque c’est 1020 fois plus petit que la taille d’un noyau d’atome !
Mais quelques années plus tard on découvrit les forces nucléaires faible et forte. Comme on ne put réconcilier ces forces avec la théorie de Kaluza-Klein, celle-ci fut oubliée pendant une cinquantaine d’années. Elle fut remise au goût du jour par les théoriciens de la Grand Unification dont l’objectif est d’unifier la force nucléaire forte avec la force électrofaible (cette dernière étant l’unification de la force électromagnétique et de la force faible réalisée par Glashow, Salam et Weinberg). Chaque force nécessitant des dimensions d’espace supplémentaires (enroulées), ils aboutirent à un espace-temps comportant dix dimensions d’espace et une de temps. Les théories de Grande Unification proposées à ce jour n’ont pas convaincu car elles prévoient une désintégration du proton qui n’a pas pu être observée expérimentalement (voir la note 8 de la chronique n° 417, Le rassurant petit fromage – Du melon de Bernardin de Saint-Pierre au super-melon du Principe anthropique, 24.10.2016 ; et la chronique n° 445, L’univers dans la théorie des supercordes – Un « modèle » qui recouvre tout, sauf le plaisir de manger de la tarte à la fraise, 13.03.2017).
Aimé Michel, fidèle à son habitude, invite son lecteur à ne pas lire les textes inspirés comme des traités scientifiques qui auraient vieillis. À ce propos voir par exemple la note 11 de la chronique n° 356, L’homme descend de l’homme et non du singe – La genèse et les sciences 10 (27.03.2017).
